復刻:ジオメトリック・ランダムウォーク

前回の続きの復刻記事です。元記事は2006年8月1日のものです。


 

本来の算術ランダムウォークはガウスノイズを順次加えていって作るものなのですが、前回のランダムウォークでは、価格がマイナスになってはいけないということと、変動幅は絶対値ではなく、割合で表すのが自然ということで、単に変動の割合をガウスノイズにしていました。

前回3万個のデータ(と言っても日足なら100年分)だと何となく相場データっぽくなっていたのですが、試しに50万個のデータまで増やしてみると、ほとんどの場合で0に収束してしまうことに気づきました。

これは価格が小さくなればなるほど変動幅も小さくなるので、0に近づいていくとそこから上がれなくなるからなのですが、このやり方だと必ずダウントレンドになってしまいます。

そこで再びランダムウォークについて調べなおしたところ(前回見逃していただけ)、相場のモデルとして適当なものに、Geometric Random Walk というものがありました。これも直訳すると幾何ランダムウォークっていうのでしょうが、よくわからないので、ここではジオメトリック・ランダムウォークと 言っておきます。以下のサイトを参考にしました。

http://www.duke.edu/~rnau/411georw.htm

これは、価格のLOGを取ったものの差分がガウスノイズになるように作るものです。後でexpを取るので、結局は前日の価格にexp(ガウスノイズ)をかければいいだけです。

この方法にすると、価格が0に収束することはなくなりました。が、1から始めても、非常に大きな値になることもしばしば現れるようになりました。実際にガウスノイズの標準偏差を0.07%としたときの300万個のランダムウォーク(なんと1万年分)を作ってみました。

rnd_walk3

この図は縦軸をLOGスケールにしていますが、実際には大きなところで20000近い価格になっています。株価ならこのような動きもありそうですが、為替でも1万年もかかれば何万倍も違ってくることもあるのかもしれません。

それより興味深かったことはバブルのような動きがランダムウォークで作れるということです。下の図を見てください。

rnd_walk4

これは上のと同じ条件で30万個のランダムウォークを作り、縦軸をリニアスケールで表したものです。バブルのときの相場に似ていませんか?

これまでバブルみたいな動きはランダムウォークとは違うものだと思っていましたが、これを見るとバブルもランダムウォークの一部なのかもしれません。


 

ここからは現在の私からのコメントです。

ジオメトリック・ランダムウォークは前日の価格にexp(ガウスノイズ)を掛けるのが正確な方法ですが、ガウスノイズが小さければ(1+ガウスノイズ)を掛ける方法に近似できます。ただし、あくまで近似式なので、わずかですがマイナス方向にバイアスがかかっています。その結果、時間が十分に経過していくと0に近づいていったわけです。

 



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