2006年08月01日
ジオメトリック・ランダムウォーク
本来の算術ランダムウォークはガウスノイズを順次加えていって作るものなのですが、前回のランダムウォークでは、価格がマイナスになってはいけないということと、変動幅は絶対値ではなく、割合で表すのが自然ということで、単に変動の割合をガウスノイズにしていました。
前回３万個のデータ（と言っても日足なら１００年分）だと何となく相場データっぽくなっていたのですが、試しに５０万個のデータまで増やしてみると、ほとんどの場合で０に収束してしまうことに気づきました。
これは価格が小さくなればなるほど変動幅も小さくなるので、０に近づいていくとそこから上がれなくなるからなのですが、このやり方だと必ずダウントレンドになってしまいます。
そこで再びランダムウォークについて調べなおしたところ（前回見逃していただけ）、相場のモデルとして適当なものに、Geometric Random Walk というものがありました。これも直訳すると幾何ランダムウォークっていうのでしょうが、よくわからないので、ここではジオメトリック・ランダムウォークと言っておきます。以下のサイトを参考にしました。
http://www.duke.edu/~rnau/411georw.htm
これは、価格のLOGを取ったものの差分がガウスノイズになるように作るものです。後でexpを取るので、結局は前日の価格にexp(ガウスノイズ）をかければいいだけです。
この方法にすると、価格が０に収束することはなくなりました。が、１から始めても、非常に大きな値になることもしばしば現れるようになりました。実際に標準偏差を０．０７％としたときの３００万個のランダムウォーク（なんと１万年分）を作ってみました。
この図は縦軸をLOGスケールにしていますが、実際には大きなところで２００００近い価格になっています。株価ならこのような動きもありそうですが、為替でも１万年もかかれば何万倍も違ってくることもあるのかもしれません。
それより興味深かったことはバブルのような動きがランダムウォークで作れるということです。下の図を見てください。
これは上のと同じ条件で３０万個のランダムウォークを作り、縦軸をリニアスケールで表したものです。バブルのときの相場に似ていませんか？
これまでバブルみたいな動きはランダムウォークとは違うものだと思っていましたが、これを見るとバブルもランダムウォークの一部なのかもしれません。
次回はシステムについて考えてみたいと思います。
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こんにちは、
ただ気になるのは、上のバブルの曲線は、数あるランダムウォークアウトプットのなかからToyoLabさんが恣意的にピックアップしたものではないのでしょうか？そうすればもはやランダムではないですね。
FXSTさん、こんにちは。
バブルの曲線は、複数のランダムウォーク系列から、たまたま出たのをピックアップしたわけではなく、一つの系列をずっと続けていって何度か現れたうちの一つを切り出したものです。
ログスケールでちょっとしたピークが立っている部分はリニアスケールで見るとバブルのような形になっています。そう珍しい形状ではありません。